配分函数
二维CFT的配分函数/二维CFT的热力学
环面（Torus）在数学上可以被看作是复平面 C 模掉一个晶格（Lattice） Λ 得到的商空间。 为了研究定义在环面上的量子场论，我们定义空间方向（实轴方向）的圆周长为 2π。
- 环面的几何可以由复参数τ=τ1+iτ2参数化，其中
- τ2>0：控制环面的虚时方向上的延伸长度。
- τ1：控制环面在一个时间周期产生的空间方向上的扭转的平移量。
假设
w位于一个格点上，则它应该有一个空间认同和热认同：
w\sim w+2\pi \sim w+2\pi \tau
\end{equation}$$
这里的$\sim$代表认同关系
* 在量子统计中，配分函数是系统在周期性边界条件下的迹
* 只有纯时间演化时，即$\tau_1=0$，虚时间演化的周期为$\beta=2\pi \tau_2$，此时
$$\begin{equation}
e^{-\beta H}=e^{-2\pi \tau_2 H}
\end{equation}$$
* 在一个一般的环面上，时间方向走完一圈，空间坐标也应该走过$2\pi\tau_1$
在量子力学中，$H$为时间平移生成元，$P$为空间平移生成元，因此空间方向扭转平移算符也要计算
$$\begin{equation}
e^{i2\pi \tau_1P}
\end{equation}$$
因此配分函数
$$\begin{equation}
\boxed{ Z(\tau,\bar{\tau})=\text{Tr}\left[e^{-2\pi \tau_2H+2\pi i\tau_1 P}\right]}
\end{equation}$$
一般我们更喜欢用无量纲Virasoro生成元$L_0$和$\bar{L_0}$来表示[[二维CFT中的]]$H,P$。
---
<font color=red>配分函数的计算有一个更加简单的理解，我们知道量子力学中时间演化算符为$e^{-iHt}$，空间演化算符为$e^{iPx}$，通常的配分函数实际上就是把两个态粘起来，所以也就是$\text{Tr}e^{-\beta H}$，但是现在由于有了空间方向的演化，粘两个态的时候是斜着粘的，因此</font>
$$\begin{equation}
\color{red} Z=\text{Tr}e^{-iHt_{周期}}e^{iPx_{周期}}=\text{Tr}e^{-Ht_{E周期}}e^{iPx_{周期}}
\end{equation}$$
而时间认同和空间认同分别为：
$$\begin{equation}
\color{red}t_E\sim t_E+\beta\qquad x\sim x+L
\end{equation}$$
所以
$$\color{red}Z=\text{Tr}e^{-\beta H}e^{iPL}$$
只要知道算符和周期，代进去就完事了。
---
参考资料：
1. [Lectures on Quantum Gravity and Black Holes](http://www.hartmanhep.net/topics2015/gravity-lectures.pdf)
Flowershow